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Resumen:
En esta charla trataremos sobre el problema de existencia de hipersuperficies invariantes para foliaciones holomorfas de codimensión uno; es decir, hipersuperficies que en su parte regular son hojas de la foliación. El célebre teorema de la separatriz de Camacho-Sad da una respuesta afirmativa en dimensión ambiente dos. En dimensión superior y en la situación no dicrítica, se tienen los resultados de Cano-Cerveau y Cano-Mattei que dan una respuesta también positiva; por el contrario, en la situación dicrítica, los conocidos ejemplos de Jouanolou proporcionan gérmenes de foliaciones en dimensión tres sin superficie invariante. Discutiremos en esta charla sobre una familia de foliaciones para las que también tenemos un resultado positivo en esta dirección: la foliaciones Newton no degeneradas. |
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Resumen:
Los espacios de Alexandrov (con curvatura acotada inferiormente) son generalizaciones métricas de las variedades Riemannianas completas con curvatura seccional uniformemente acotada por abajo. Algunas instancias de espacios de Alexandrov son, por ejemplo, órbifolds Riemannianios compactos o espacios de órbitas de acciones isométricas de grupos de Lie compactos en variedades Riemannianas compactas. Además de ser objetos de interés por sí mismos, los espacios de Alexandrov juegan un papel importante en la geometría diferencial, por ejemplo, en la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré. En esta plática daremos un vistazo a la topología y geometría de los espacios de Alexandrov, enfocándonos en aquellos de dimensión 3. |
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Resumen:
El grupo modular, Mod(S), de una superficie (conexa, orientable y sin frontera) S, se define como el grupo formado por todas las componentes conexas por trayectorias del grupo Homeo^+(S) de homeomorfismos de S en sí misma que preservan la orientación. En la mayor parte de la literatura el grupo modular de una superficie es conocido como “mapping class group”. En el contexto de superficies de tipo finito (superficies con grupo fundamental finitamente generado), Mod(S) se ha estudiado desde mediados del siglo pasado, bajo este contexto se conoce mucha información. Recientemente, ha surgido el interés de estudiar el grupo modular de superficies de tipo infinito, los cuales vamos a llamar, por simplicidad, “grupos modulares grandes”. En esta charla veremos analogías y contrastes entre ambos escenarios. Hablaremos acerca de nuestras contribuciones en el área de grupos modulares grandes así como de posibles direcciones de investigación. |
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Resumen:
El concepto de espacio, al igual que el de tiempo y de materia, es quizás uno de los conceptos más ''primitivos'' en la ciencia. En particular, el espacio resulta ligado al origen mismo de la geometría y de la física y es de interés también en la filosofía y en el arte. En el presente coloquio, se describirán de manera breve algunos periodos históricos en los cuales dicho concepto se ha desarrollado, pasando de la Antigua Grecia, a la Edad Media y el Renacimiento, y finalizando con la Era Moderna y los Siglos XIX y XX. |
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Resumen:
En los años ochenta, Goldman descubrió dos estructuras de álgebra de Lie en dos espacios vectoriales generados por clases de homotopía libre de curvas cerradas en una superficie. En un caso, la base está dada por las clases de curvas orientadas, y en el otro, por las clases de curvas no orientadas. Estos corchetes de Lie, por definición, combinan la estructura de intersección transversal con la reconexión de curvas. Describiremos cómo la estructura algebraica captura la estructura de intersección mínima de curvas en superficies, en particular contando las intersecciones mínimas de una curva general con curvas simples y mostrando que los elementos centrales son paralelos al límite. La prueba utiliza tanto la geometría geodésica hiperbólica como el efecto de los terremotos de Thurston en los ángulos en los puntos de intersección. Si el tiempo lo permite, hablaremos de otros aspectos de las álgebras de Lie de Goldman. |
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Resumen:
En esta charla introducimos el invariante modular cuántico para campos globales. En el caso de campos globales de característica positiva (i.e. extensiones finitas de F(T), F un campo finito), demostramos que el invariante modular cuántico da una solución del 12 Problema de Hilbert para extensiones cuadráticas y reales de F(T). Para adaptar nuestra prueba al caso de característica cero (extensiones finitas de los números racionales), argumentamos que lo que se require es desarrollar una teoría algebraica de números basada en cuasicristales. |
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Resumen:
Un espacio de Banach es un espacio vectorial (de dimensión finita o infinita) junto con una norma que lo hace completo (es decir, toda sucesión de Cauchy converge). Más aún, se dice que es de Hilbert si la norma proviene de un producto interior. En su libro de 1932, Banach pregunta lo siguiente: sea (V, || ||) un espacio de Banach y n> 1 fija. Supón que cualesquiera dos subespacios de dimensión n son isométricos entre sí. Entonces, ¿será necesariamente cierto que (V, || ||) es de Hilbert? Esto se conoce como "El problema isométrico de Banach". En 1967 Gromov descubre la manera de relacionar este problema con la geometría/topología de las esferas y demuestra que el problema tiene respuesta positiva para toda n par. Recientemente, he colaborado en la resolución de este problema para la "mitad" de los casos restantes. A saber, pudimos demostrar: Teorema. Si n=4k+1, pero distinto a 133, entonces el problema isométrico de Banach es cierto. En la charla daré una idea de la prueba (y explicaré de donde sale el 133). ésta involucra una mezcla de nociones básicas de geometría/topología diferencial, geometría convexa, topología algebraica y representaciones de grupos de Lie compactos. Pienso que es un buen ejemplo de cómo varias ramas distintas de las matemáticas se conjugan en la resolución de un problema (originalmente de análisis funcional). Es también un repaso a algunos temas que se abordan en cursos de posgrado. |
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Resumen:
Repasaremos los conceptos fundamentales de geometría algebraica, para luego definir qué es una superficie fibrada. Un problema fundamental de la teoría de superficies fibradas es el estudio del número mínimo de fibras singulares que debe admitir. Daremos un resumen de los principales resultados de esta teoría, incluidas nuestras contribuciones. |
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Resumen:
Denotemos por Sp al espacio de polinomios cúbicos en la forma estándar con un punto crítico marcado de period p. Para cada entero positivo fijo, q, estudiaremos los mosaicos de Sp en regiones con retrato de órbita de periodo q. (Trabajo en conjunto con John Milnor). |
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Resumen:
La Teoría Invariante Geométrica (GIT) es una de las técnicas más comunes para construir cocientes en geometría algebraica. El cociente GIT de una variedad (proyectiva suave) X por la acción de un grupo (algebraico reductivo) G depende de ciertos parámetros y a su vez da una estratificación del espacio que ayuda a hacer cálculos de invariantes numéricos de la variedad X y de su cociente X//G. En esta plática daré una introducción de GIT y de sus estratificaciones a través de ejemplos (variedades y stacks tóricos ) y motivaré generalizaciones a estratificaciones de stacks algebraicos para hacer cálculos de invariantes K-teóricos y cohomológicos. |
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Resumen:
En combinatoria algebraica, el algoritmo de Robinson-Schensted-Knuth describe una biyección entre permutaciones generalizadas y pares de tableaux semi-estándares. Esta biyección ilustra varias identidades relacionadas con la dimensión de representaciones irreducibles de varios grupos. En esta charla, hablaremos sobre las distintas versiones de este algoritmo y sus consecuencias en la teoría de representaciones. También presentaré una generalización del algoritmo para álgebras de diagramas que se comporta bien cuando restringimos las representaciones a subálgebras. |
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Resumen:
Una métrica riemanniana sobre una variedad diferenciable M nos permite definir y estudiar propiedades como volumen, curvatura y distancia; las cuales codifican su forma geométrica. El espacio (topológico) de métricas riemannianas sobre M es entonces el objeto que parametriza todas las posibles deformaciones geométricas de la variedad. En esta charla discutiremos la topología de estos espacios de métricas desde varios puntos de vista, especialmente cuando se imponen condiciones en la curvatura -por ejemplo espacios de métricas de curvatura negativa. Veremos que en general, la topología de estos espacios es rica y complicada, y que esto se debe, en parte, a la complejidad del grupo de difeomorfismos de M, el cual actúa de forma natural por medio del "pull-back" de una métrica riemanniana. Examinaremos las propiedades de esta acción y veremos cómo todo esto se relaciona con la teoría de haces fibrados y clases características. |
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Resumen:
Distintos resultados de unicidad de soluciones a sistemas de ecuaciones lineales elípticas se fundamentan en una desigualdad de Gårding, que es consecuencia directa de las condiciones de elipticidad. En esta charla discutiremos una desigualdad de Gårding para funcionales no lineales en el cálculo de variaciones vectorial. La desigualdad es consecuencia de la semicontinuidad inferior del funcional y nos permite, a su vez, obtener resultados de unicidad para soluciones a problemas variacionales e, incluso, para puntos extremos del funcional. Lo presentado en esta charla es un trabajo realizado en colaboración con Jan Kristensen (Oxford). |